机器人电源管理系统是保障机器人可靠运行、延长续航时间的核心组件，其本质是通过动态调控电源的充放电策略、能量分配方式及负载匹配关系，实现“能量高效利用-系统稳定运行-电池寿命延长”的多目标优化。数学模型作为量化分析与优化决策的工具，贯穿于电源状态监测、能量调度、寿命预测等全流程。本文将系统梳理机器人电源管理中典型的数学模型，包括电源状态估算模型、能量优化调度模型及电池寿命预测模型，明确各模型的核心公式、物理意义及应用场景。
一、核心基础：电源状态估算模型
电源状态估算（如SOC、SOH、SOE）是电源管理的前提，其核心是通过可测量参数（电压、电流、温度）反推电源内部不可直接测量的状态量，为后续决策提供依据。
1. 荷电状态（SOC）估算模型
荷电状态（State of Charge，SOC）表示电池当前剩余电量与额定容量的百分比，是电源管理中最基础的状态量。常用模型包括库仑计法模型、开路电压法模型及卡尔曼滤波改进模型。
（1）库仑计法（电流积分法）模型
原理：基于电荷守恒定律，通过对充放电电流的积分计算电量变化，是工程中最常用的基础方法。
核心公式：SOC(t) = SOC₀ - (1/Cₙ) × ∫₀ᵗ I(τ)dτ ，其中：
•SOC(t)为t时刻的荷电状态，取值范围[0,1]或[0,100%]；
•SOC₀为初始时刻（t=0）的SOC值，需通过校准获得；
•Cₙ为电池额定容量（单位：Ah），需根据电池类型和老化程度修正；
•I(τ)为τ时刻的充放电电流（单位：A），放电时I为正，充电时I为负；
•∫₀ᵗ I(τ)dτ为0到t时刻的电荷积分量（单位：Ah）。
应用场景：适用于中短时间尺度的SOC估算，如工业机器人的连续作业过程。需注意，该模型存在积分漂移问题，长期使用需结合其他方法校准。
（2）开路电压（OCV）法模型
原理：利用电池开路电压与SOC的固定对应关系（OCV-SOC曲线），通过测量开路电压反推SOC，常用于SOC初始校准或长时间静置后的修正。
核心关系：SOC = f⁻¹(OCV) ，其中：
•OCV为电池开路电压（单位：V），即断开负载后电池两端的稳定电压；
•f(·)为OCV-SOC映射函数，由电池类型（锂离电子、镍氢等）决定，通过实验拟合获得，通常为分段函数或多项式函数。
示例：锂离子电池的OCV-SOC拟合函数可表示为OCV = a₀ + a₁·SOC + a₂·SOC² + a₃·SOC³，其中a₀、a₁、a₂、a₃为实验拟合系数，通过最小二乘法求解。
（3）卡尔曼滤波（KF）改进模型
原理：针对库仑计法的积分漂移和OCV法的动态响应差问题，通过卡尔曼滤波融合两种方法的优势，实现动态场景下的高精度估算。该模型分为状态方程和观测方程两部分。
核心公式：
1.状态方程：xₖ = Aₖ·xₖ₋₁ + Bₖ·uₖ₋₁ + wₖ₋₁ ，其中xₖ = [SOCₖ, ΔCₖ]ᵀ（ΔCₖ为容量衰减修正项），Aₖ为状态转移矩阵，Bₖ为输入矩阵，uₖ₋₁为k-1时刻的电流，wₖ₋₁为过程噪声；
2.观测方程：zₖ = Hₖ·xₖ + vₖ ，其中zₖ为观测值（如OCV或端电压），Hₖ为观测矩阵，vₖ为观测噪声；
3.更新方程：通过预测步和更新步迭代，不断修正SOC估算值，降低噪声干扰。
应用场景：适用于移动机器人（如AGV、服务机器人）等动态负载场景，估算精度可达1%以内。
2. 健康状态（SOH）估算模型
健康状态（State of Health，SOH）表示电池当前性能与新电池性能的比值，反映电池老化程度，核心是量化容量衰减和内阻增长。
核心公式：SOH = min(SOH_C, SOH_R) ，其中：
•SOH_C为容量健康度，SOH_C = Cₖ/Cₙ × 100%，Cₖ为当前实际容量；
•SOH_R为内阻健康度，SOH_R = Rₙ/Rₖ × 100%，Rₖ为当前实际内阻，Rₙ为新电池内阻。
进阶模型：基于循环次数的SOH衰减模型，SOH = 1 - k·N^α ，其中N为循环次数，k为衰减系数，α为老化指数，由电池材料和使用环境决定（如三元锂电池α≈0.5，磷酸铁锂电池α≈0.3）。
二、核心决策：能量优化调度模型
机器人多负载（如驱动电机、传感器、控制器）的能量需求存在动态差异，能量优化调度模型通过分配各负载的供电功率，实现总能耗最小化或续航时间最大化。
1. 功率分配模型（基于凸优化）
原理：将多负载功率分配问题转化为凸优化问题，以总能耗最小为目标，考虑电源输出功率限制、负载功率需求约束等。
数学描述：
目标函数：min ∑₁ⁿ Pᵢ(t)·T ，其中n为负载数量，Pᵢ(t)为第i个负载的t时刻功率，T为作业时间；
约束条件：
•电源输出功率约束：∑₁ⁿ Pᵢ(t) ≤ P_max(t) ，P_max(t)为t时刻电源最大输出功率（与SOC相关，SOC越低P_max越小）；
•负载功率需求约束：Pᵢ_min ≤ Pᵢ(t) ≤ Pᵢ_max ，Pᵢ_min、Pᵢ_max分别为第i个负载的最小、最大需求功率；
•连续性约束：Pᵢ(t) - Pᵢ(t-1) ≤ ΔPᵢ_max ，ΔPᵢ_max为第i个负载的功率最大变化率（避免负载冲击）。
求解方法：采用内点法或梯度下降法求解，适用于工业机器人的多轴驱动系统功率分配。
2. 充放电优化模型（基于动态规划）
原理：针对充电过程或混合电源（如电池+超级电容）系统，以充电时间最短、电池损耗最小为目标，考虑充放电效率的时变特性。
以混合电源系统为例，核心公式：
状态变量：xₖ = [SOC_b(k), SOC_c(k)]ᵀ ，其中SOC_b为电池SOC，SOC_c为超级电容SOC；
控制变量：uₖ = [P_b(k), P_c(k)]ᵀ ，其中P_b为电池功率，P_c为超级电容功率；
状态转移方程：
SOC_b(k+1) = SOC_b(k) + P_b(k)·Δt / C_b ；
SOC_c(k+1) = SOC_c(k) + P_c(k)·Δt / C_c ；
目标函数：min ∑₀^T [η_b·|P_b(k)| + η_c·|P_c(k)|] ，其中η_b、η_c分别为电池、超级电容的充放电损耗系数，Δt为时间步长。
应用场景：适用于移动机器人的能量回收系统（如制动能量回收时的超级电容与电池功率分配）。
三、核心保障：电池寿命预测模型
电池寿命是机器人使用成本的关键因素，数学模型通过量化充放电循环、温度、SOC波动等因素对寿命的影响，实现寿命的精准预测，为维护策略提供依据。
1. 循环寿命模型（基于Arrhenius方程）
原理：将电池循环寿命与充放电应力（如温度、充放电倍率）关联，基于Arrhenius方程描述温度对老化速率的加速作用。
核心公式：L = L₀ × exp(-Eₐ/(R·T)) × (1 - DOD)^β / (1 + r)^γ ，其中：
•L为实际循环寿命，L₀为标准条件下（25℃、0.5C充放电）的循环寿命；
•Eₐ为活化能（锂离子电池约40-60 kJ/mol），R为气体常数（8.314 J/(mol·K)），T为绝对温度（单位：K）；
•DOD为放电深度（放电容量与额定容量的比值），β为DOD影响系数（通常β=0.8-1.2）；
•r为充放电倍率（实际电流与额定电流的比值），γ为倍率影响系数（通常γ=0.3-0.6）。
2. 日历寿命模型（基于容量衰减动力学）
原理：描述电池静置存储时的容量衰减规律，核心是量化SOC和温度对自放电老化的影响。
核心公式：C_loss(t) = k₀ × t^α × SOC^β × exp(-Eₐ/(R·T)) ，其中：
•C_loss(t)为t时刻的容量衰减量；
•k₀为比例系数，α为时间指数（通常α=0.5-1.0，静置初期α大，后期α小）；
•SOC为静置时的荷电状态，β为SOC影响系数（β=1.5-2.0，SOC越高衰减越快）。
四、模型应用的关键考量
1. 模型融合：单一模型难以满足复杂场景需求，实际应用中常采用“状态估算模型+优化调度模型+寿命预测模型”的融合架构，如通过卡尔曼滤波获得高精度SOC，输入动态规划模型实现充放电优化，同时结合循环寿命模型修正优化目标。
2. 参数校准：模型参数（如电池容量、活化能）会随使用过程动态变化，需定期通过实验数据（如充放电曲线、循环测试）校准，避免模型漂移。
3. 实时性优化：机器人动态作业对模型求解速度要求高，需通过简化模型（如将非线性模型线性化）或采用快速求解算法（如交替方向乘子法）提升实时性。
五、总结
数学模型是机器人电源管理从“经验调控”走向“精准决策”的核心支撑。SOC/SOH估算模型为状态感知提供量化依据，能量优化调度模型实现资源高效分配，寿命预测模型保障系统长期可靠性。未来，随着机器人向轻量化、长续航、智能化发展，数学模型将进一步与机器学习结合（如基于神经网络的SOC估算），实现模型精度与自适应能力的双重提升，为机器人电源管理提供更强大的技术支撑。
